2023~2024 学年度（下）成都二中6月热身考试¶
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1 客观题¶
- 如图，在棱长为 \({4}\) 的正方形 \({ABCD-A_1B_1C_1D_1}\) 中，\({E, F, G}\) 分别为棱 \({AD, AB, BC}\) 的中点，点 \({P}\) 为线段 \({D_1F}\) 上的动点，则（ ）
A. 两条异面直线 \({D_1C}\) 和 \({BC_1}\) 所成的角为 \({45^{\circ}}\)
B. 存在点 \({P}\) ，使得\({C_1G \parallel }\) 平面 \({BEP}\)
C. 对任意点 \({P}\) ，平面 \({FCC_1 \perp}\) 平面 \({BEP}\)
D. 点 \({B_1}\) 到直线 \({D_1F}\) 的距离为 \({4}\)
思路及解答
Info
首先看 A 选项，注意到选项要求两线段间夹角， 首先考虑将两线段平移到一个顶点上. 不难发现 \({A_1B \parallel D_1C}\) ， 并且不难观察到 \({\Delta A_1BC_1}\) 是一个等边三角形. 因此其两线段夹角为 \({60^{\circ}}\).
连接 \({A_1B}\) ，\({BC_1}\) ，\({A_1C}\) .
\({\because}\) 棱柱 \({ABCD-A_1B_1C_1D_1}\) 是正方体
\({\therefore}\) \({A_1B \parallel D_1C}\)
\({\therefore}\) \({\angle{A_1BC_1}}\) 是 线段 \({D_1C}\) 和 线段 \({BC_1}\) 所成角
\({\because}\) \({\Delta{A_1BC_1}}\) 是等边三角形
\({\therefore}\) \({\angle{A_1BC_1} = 60^{\circ}}\)
\({\therefore}\) 线段 \({D_1C}\) 与 线段 \({BC_1}\) 所成角为 \({60^{\circ}}\)
Info
B 选项需要我们找到并证明线面平行. 不妨先找到 平面 \({BEP}\) 内一条线段与 \({C_1G}\) 平行. 注意到 \({ED_1 \parallel C_1G}\) ,并且 点\({P}\) 可与 \({D_1}\) 重合, 因此当 \({P}\) 移动到 \({D_1}\) 时，\({C_1G \parallel}\) 平面 \({BEP}\).
连接 \({ED_1}\)
\({\because}\) 棱柱 \({ABCD-A_1B_1C_1D_1}\) 是正方体
\({\therefore}\) \({C_1G \parallel ED_1}\)
\({\because}\) 当 \({P}\) 与 \({D_1}\) 重合时，\({EP = ED_1}\)
\({\therefore}\) 此时 \({C_1G \parallel}\) 平面 \({BEP}\)
\({\therefore}\) 存在点 \({P}\) ，使得 \({C_1G \parallel}\) 平面 \({BEP}\).